Christine Zehrt
Département de mathématiques
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Thematisches Seminar - HS 2020
Elliptische Kurven
Eine elliptische Kurve E(K) über einem Körper K nennt man die Menge aller Punkte (x,y) in
K^2, die eine Gleichung der Form y^2=x^3+ax+b erfüllen (wobei a,b in K und 4a^3+27b^2 ungleich Null ist),
zusammen mit einem Punkt im Unendlichen. Die Menge E(K) bildet bezüglich einer geometrisch definierten Addition eine abelsche
Gruppe. Das Bild rechts zeigt die elliptische Kurve y^2=x^3-5x+8 über R zusammen mit der Addition von zwei Punkten P und Q.
In diesem Seminar werden wir vor allem zahlentheoretische Aspekte von elliptischen Kurven studieren wie zum Beispiel, dass die
Gruppe der rationalen Punkte E(Q) endlich erzeugt ist (Satz von Mordell) und dass rationale Punkte
von endlicher Ordnung ganzzahlige Koordinaten haben, falls E über Z definiert ist (Satz von Nagell-Lutz).
Weiter werden wir elliptische Kurven über endlichen Körpern betrachten und untersuchen, wie diese erfolgreich in der
Kryptographie eingesetzt werden.
Grundlage dieses Seminars ist das folgende Buch:
J. H. Silverman und J. Tate, Rational Points on Elliptic Curves, Springer, 2015. (KUB online verfügbar)
Hier finden Sie eine detaillierte Beschreibung der Vorträge.
Validierungskriterien:
- Regelmässige Anwesenheit im Seminar
- Einen doppelstündigen Vortrag an der Wandtafel halten. Der Vortrag kann auf Deutsch, Französisch oder Englisch gehalten werden.
- Eine Zusammenfassung (4 - 6 Seiten) des eigenen Vortrags in LaTeX
Vorträge:
Zeit/Ort: Mittwoch, 15h15 - 17h00 im Hörsaal 2.52, PER 08
Die Handouts zu den Vorträgen sind auf Moodle verfügbar.
Datum | Vortrag | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 16.09.2020
| Jana Kolly: Kurven in der affinen und projektiven Ebene
| 2 | 23.09.2020
| Marina Cotting: Kegelschnitte und der Satz von Bézout
| 3 | 30.09.2020
| Amélie Uldry: Elliptische Kurven und die Weierstrass-Gleichung
| 4 | 07.10.2020
| Laurence Morard: Gruppengesetz und Punkte der Ordnungen 2 und 3
| | 14.10.2020
| Im Selbststudium: Gruppen, Ringe, Kongruenzen, Polynome
| 5 | 21.10.2020
| Florine Pierroz: Reelle und komplexe Punkte und die Diskriminante
| 6 | 28.10.2020
| Christine Zehrt: Rationale Punkte von endlicher Ordnung (Satz von Nagell-Lutz)
| 7 | 04.11.2020
| Christine Zehrt: Der Satz von Mordell und Höhen
| 8 | 11.11.2020
| Jérôme Hilken: Der schwache Satz von Mordell
| 9 | 18.11.2020
| David Bernhard: Beispiele zum Satz von Mordell und singuläre kubische Kurven
| 10 | 25.11.2020
| Andrea Tettamanti: Elliptische Kurven über endlichen Körpern
| 11 | 02.12.2020
| Valentin Granereau: Reduktion modulo p
| 12 | 09.12.2020
| Christoph Jutzet: Lenstras Faktorisierungsalgorithmus
| 13 | 16.12.2020
| Albin Aliu: Kryptographie mit elliptischen Kurven
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Weiterführende Literatur:
T.M. Apostol, Modular Functions and Dirichlet Series in Number Theory, Springer, 1976.
J. Hoffstein, J. Pipher, J.H. Silverman, An Introduction to Mathematical Cryptography, Springer, 2014.
J.H. Silverman, The Arithmetic of Elliptic Curves, Springer, 2009.
A. Werner, Elliptische Kurven in der Kryptographie, Springer, 2002.