Thematisches Seminar - HS 2020

Elliptische Kurven

Eine elliptische Kurve E(K) über einem Körper K nennt man die Menge aller Punkte (x,y) in K^2, die eine Gleichung der Form y^2=x^3+ax+b erfüllen (wobei a,b in K und 4a^3+27b^2 ungleich Null ist), zusammen mit einem Punkt im Unendlichen. Die Menge E(K) bildet bezüglich einer geometrisch definierten Addition eine abelsche Gruppe. Das Bild rechts zeigt die elliptische Kurve y^2=x^3-5x+8 über R zusammen mit der Addition von zwei Punkten P und Q.
In diesem Seminar werden wir vor allem zahlentheoretische Aspekte von elliptischen Kurven studieren wie zum Beispiel, dass die Gruppe der rationalen Punkte E(Q) endlich erzeugt ist (Satz von Mordell) und dass rationale Punkte von endlicher Ordnung ganzzahlige Koordinaten haben, falls E über Z definiert ist (Satz von Nagell-Lutz). Weiter werden wir elliptische Kurven über endlichen Körpern betrachten und untersuchen, wie diese erfolgreich in der Kryptographie eingesetzt werden.

Grundlage dieses Seminars ist das folgende Buch:
J. H. Silverman und J. Tate, Rational Points on Elliptic Curves, Springer, 2015. (KUB online verfügbar)

Hier finden Sie eine detaillierte Beschreibung der Vorträge.

Validierungskriterien:

• Regelmässige Anwesenheit im Seminar
• Einen doppelstündigen Vortrag an der Wandtafel halten. Der Vortrag kann auf Deutsch, Französisch oder Englisch gehalten werden.
• Eine Zusammenfassung (4 - 6 Seiten) des eigenen Vortrags in LaTeX

Vorträge:

Zeit/Ort: Mittwoch, 15h15 - 17h00 im Hörsaal 2.52, PER 08

Die Handouts zu den Vorträgen sind auf Moodle verfügbar.

	Datum	Vortrag
1	16.09.2020	Jana Kolly: Kurven in der affinen und projektiven Ebene
2	23.09.2020	Marina Cotting: Kegelschnitte und der Satz von Bézout
3	30.09.2020	Amélie Uldry: Elliptische Kurven und die Weierstrass-Gleichung
4	07.10.2020	Laurence Morard: Gruppengesetz und Punkte der Ordnungen 2 und 3
	14.10.2020	Im Selbststudium: Gruppen, Ringe, Kongruenzen, Polynome
5	21.10.2020	Florine Pierroz: Reelle und komplexe Punkte und die Diskriminante
6	28.10.2020	Christine Zehrt: Rationale Punkte von endlicher Ordnung (Satz von Nagell-Lutz)
7	04.11.2020	Christine Zehrt: Der Satz von Mordell und Höhen
8	11.11.2020	Jérôme Hilken: Der schwache Satz von Mordell
9	18.11.2020	David Bernhard: Beispiele zum Satz von Mordell und singuläre kubische Kurven
10	25.11.2020	Andrea Tettamanti: Elliptische Kurven über endlichen Körpern
11	02.12.2020	Valentin Granereau: Reduktion modulo p
12	09.12.2020	Christoph Jutzet: Lenstras Faktorisierungsalgorithmus
13	16.12.2020	Albin Aliu: Kryptographie mit elliptischen Kurven

Weiterführende Literatur:

T.M. Apostol, Modular Functions and Dirichlet Series in Number Theory, Springer, 1976.
J. Hoffstein, J. Pipher, J.H. Silverman, An Introduction to Mathematical Cryptography, Springer, 2014.
J.H. Silverman, The Arithmetic of Elliptic Curves, Springer, 2009.
A. Werner, Elliptische Kurven in der Kryptographie, Springer, 2002.