Contenu Analyse IV

Version Ghanaat 2017

5. Intégration sur les sous-variétés de Rn

Sous-variétés paramétrées de Rn, immersions, espaces tangents; exemples: surfaces de rotation, graphes, exemple d'une immersion injective qui n'est pas un plongement ; forme canonique locale d'une immersion, changement de paramètres; volume d'un d-parallelotope dans Rn, définition et caractérisation, changement du volume par une application linéaire, produit extérieur et d-volume dans le cas d=n-1; tenseur métrique d'une paramétrage, déterminant de Gram, définition de l'intégral d'une fonction sur une sous-variété paramétrée, motivation de la définition par des sommes de Riemann, l'intégral est indépendant du paramétrage, exemples; partitions de l'unité, intégration d'une fonction sur une sous-variété générale de Rn; d-Nullmengen = ensembles d-nuls, Modifikationssatz, ensembles d-nuls sont négligeables pour l'intégration, calcul d'intégrales par découpage en sous-variétés paramétrisables ; intégration sur des sous-variétés avec singularités; champs normaux unitaires et orientabilité des hypersurfaces, calcul des champs normaux, intégration de champs de vecteurs sur une hypersurface orientée, C1-polyèdres, normale extérieur, théorème de la divergence (théorème de Gauss), exemples et applications du théorème de la divergence : divergence comme densité de sources, calcul de volumes, loi de Gauss de l'électrostatique, principe d'Archimède, formules de Green, théorème intégral de Green (n=2), formule intégrale inhomogène de Cauchy ; le flot d'un champ de vecteurs, champs de vecteurs complets, lien entre le changement de volume par le flot et la divergence du champs vectoriel: théorème de Liouville.
Königsberger II, Kapitel 11 und 12

6. Fonctions harmoniques, problème de Dirichlet

Opérateur de Laplace (Laplacien), fonctions harmoniques et sous-harmoniques, conditions aux limites de Neumann et de Dirichlet, interprétation physique : distribution de la température d'équilibre, théorème de la moyenne (sphérique et spatiale), principe du maximum fort et faible pour les fonctions harmoniques, inégalité de Harnack ; solution fondamental de l'équation de Laplace, formule de représentation de Green, la fonction de Green et ses propriétés ; fonction de Green d'une boule, méthode de réflexion, formule intégrale de Poisson, solution du problème de Dirichlet sur les boules, application : inverse du théorème de la moyenne ; convergence localement uniforme, les limites des fonctions harmoniques sont harmoniques, théorème de Harnack sur la convergence des suites monotones de fonctions harmoniques, estimation des derivées d'une fonction harmonique, théorème de Liouville : toute fonction harmonique bornée sur Rn est constante, généralisation aux fonctions à croissance polynomiale; théorème de Arzela-Ascoli, théorème de Montel pour les fonctions harmoniques.
p.ex. D.Gilbarg, N.S.Trudinger : Elliptic partial differential equations of second order, Chapter 2 ; S.D.Chatterji: Cours d'analyse 3

7. Fonctions holomorphes (suite)

Fonctions holomorphes et fonctions harmoniques, fonctions harmoniques conjuguées, exemples, théorème de Montel pour les fonctions holomorphes, calcul de Wirtinger, si f biholomorphe et u harmonique alors u°f harmonique, applications; exemples d'applications conformes (biholomorphes), application de Cayley ; théorème de Riemann sur l'application conforme, preuve : unicité et existence de l'application, injectivité de la limite d'une suite de fonctions holomorphes injectives, Dehnungslemma; comportement au bord : théorème de Caratheodory; problème de Dirichlet pour les domaines dans le plan, utilisation des applications conformes pour la solution du problème de Dirichlet, emploi de la solution du problème de Dirichlet pour la construction d'une application conforme.
p.ex. W.Fischer, I.Lieb, Funktionentheorie, S.D.Chatterji: Cours d'analyse 2