Inhalt Analysis IV

Version Ghanaat 2017

5. Integration über Untermannigfaltigkeiten des Rn

Parametrisierte Untermannigfaltigkeiten des Rn, Immersionen, Tangentialraum; Beispiele: Rotationsflächen, Graphen, Beispiel einer injektiven Immersion, die keine Einbettung ist; lokale Normalform von Immersionen, Parameterwechsel; Volumen von d-Parallelotopen im Rn, Definition und Charakterisierung, Änderung des Volumens bei linearen Abbildungen, äusseres Produkt und d-Volumen im Spezialfall d=n-1; Masstensor = metrischer Tensor einer Parametrisierung, Gramsche Determinante, Definition des Integrals von Funktionen über parametrisierte Untermannigfaltigkeiten, Motivation der Definition durch Betrachtung von Riemannsummen, Unabhängigkeit von der Parametrisierung, Beispiele; Partitionen der Eins, Integration von Funktionen über beliebige Untermannigfaltigkeiten des Rn; d-Nullmengen, Modifikationssatz, Ignorieren von d-Nullmengen bei Integration, Berechnung von Integralen durch Zerlegung in parametrisierte Untermannigfaltigkeiten; Integration über Untermannigfaltigkeiten mit Singularitäten; Einheitsnormalenfelder und orientierte Hyperflächen, Berechnung von Einheitsnormalen, Integration von Vektorfeldern über orientierte Hyperflächen, C1-Polyeder, äussere Normale; Integralsatz von Gauss = Divergenzsatz; Beispiele und Anwendungen zum Divergenzsatz: Divergenz als Quelldichte, Volumenberechnung, Gausssches Gesetz der Elektrostatik, Archimedisches Prinzip, Greensche Formeln, Integralsatz von Green (n=2), inhomogene Integralformel von Cauchy; der Fluss eines Vektorfeldes, vollständige Vektorfelder, Zusammenhang zwischen der Volumenänderung durch den Fluss und der Divergenz des Vektorfeldes: Satz von Liouville
Königsberger II, Kapitel 11 und 12

6. Harmonische Funktionen, Dirichletproblem

Laplaceoperator, harmonische und subharmonische Funktionen, Dirichletsche und Neumannsche Randbedingung, physikalische Interpretation: Gleichgewichts-Temperaturverteilung, Mittelwerteigenschaft harmonischer Funktionen, starkes Maximumprinzip für harmonische Funktionen, schwaches Maximumprinzip, Eindeutigkeit der Lösung des Dirichletproblems, Ungleichung von Harnack; Fundamentallösung der Laplacegleichung, Darstellungsformel von Green, Greensche Funktion, Eigenschaften der Greenschen Funktion; Greensche Funktion von Bällen, Spiegelungsmethode, Integralformel von Poisson, Lösung des Dirichletproblems für harmonische Funktionen auf Bällen, Anwendung: Umkehrung der Mittelwerteigenschaft; lokal gleichmässige Konvergenz, Grenzwerte harmonischer Funktionen sind harmonisch, Konvergenzsatz von Harnack für monotone Folgen harmonischer Funktionen, Abschätzung der Ableitungen harmonischer Funktionen, Satz von Liouville: beschränkte harmonische Funktionen auf Rn sind konstant, Verallgemeinerung auf Funktionen mit polynomialem Wachstum; Satz von Arzela-Ascoli, Satz von Montel für harmonische Funktionen
z.B. D.Gilbarg, N.S.Trudinger : Elliptic partial differential equations of second order, Chapter 2 ; S.D.Chatterji: Cours d'analyse 3

7. Holomorphe Funktionen (Fortsetzung)

Holomorphe Funktionen und harmonische Funktionen, konjugiert harmonische Funktion, Beispiele, Satz von Montel für holomorphe Funktionen, Wirtinger-Kalkül, wenn f biholomorph und u harmonisch dann u°f harmonisch, Anwendung; Beispiele konformer (biholomorpher) Abbildungen, Cayley-Abbildung; Riemannscher Abbildungssatz, Beweis: Eindeutigkeit und Existenz der Abbildung, Lemma über die Injektivität des Limes einer Folge injektiver holomorpher Funktionen, Dehnungslemma; Randverhalten beim Riemannschen Abbildungssatz: Satz von Caratheodory; Dirichletproblem für Gebiete in der Ebene, Anwendung konformer Abbildungen zur Lösung des Dirichletproblems, Anwendung der Lösung des Dirichletproblems zur Konstruktion konformer Abbildungen.
p.ex. W.Fischer, I.Lieb, Funktionentheorie, S.D.Chatterji: Cours d'analyse 2