Contenu Analyse III

Version Ghanaat 2016

1. Champs de vecteurs et équations différentielles

Champs de vecteurs, champs de gradient, champs de vecteurs dépendant du temps, courbes intégrales, théorème d'existence et d'unicité de Picard-Lindelöf, preuve utilisant le théorème du point fixe de Banach, contre-exemple à l'unicité pour les problèmes à valeurs initiales, séparation des variables, existence globale des solutions avec un F borné linéairement, lemme de Gronwall, lemme sur le prolongement de solutions, réduction d'un système dépendant du temps à un système indépendant du temps, réduction d'une équation différentielle d'ordre supérieur à un système de premier ordre, exemple d'oscillateur harmonique ; systèmes linéaires d'équations différentielles de premier ordre, système homogène et inhomogène, système fondamental, matrice fondamentale, méthode de variation des constantes, systèmes linéaires à coefficients constants, système fondamental pour A diagonalisable, fonction exponentielle des matrices, système fondamental pour A arbitraire, systèmes inhomogènes et la variation des constantes, exemples ; équations différentielles linéaires d'ordre supérieur, polynôme caractéristique et système fondamental dans le cas de coefficients constants
Königsberger II, Kapitel 4 und I, Kapitel 10

2. Formes de Pfaff et intégrales curvilignes

Formes de Pfaff (formes de degré 1), différentielles, formes de Pfaff et champs de vecteurs, intégrales curvilignes (intégrales sur des chemins), exemple : Windungsform, intégrale curviligne comme limite de sommes de Riemann, formes exactes et fermées (= localement exactes), fonction primitive d'une forme de Pfaff, dépendance de l'intégrale curviligne du chemin, conditions d'intégrabilité, lemme de Poincaré, homotopie de chemins, l'intégrale d'une 1-forme fermée dépend seulement de la classe d'homotopie du chemin, sous-ensembles simplement connexes de Rn
Königsberger II, Kapitel 5

3. Fonctions holomorphes

Définition et conditions équivalentes, équations différentielles de Cauchy-Riemann, les limites de séries entières convergentes sont holomorphes, intégrale curviligne d'une fonction complexe, Windungszahl, théorème intégral de Cauchy, logarithme complexe, formule intégrale de Cauchy, développement d'une fonction holomorphe en série entière, formule intégrale pour les coefficients de Taylor, fonctions entières et théorème de Liouville, théorème fondamental de l'algèbre (première preuve), formule intégrale de Cauchy pour les derivées, théorème de Morera, théorème de Weierstrass (sur l'holomorphie de la limite), les zéros d'une fonction holomorphe sont isolés, théorème d'identité ; applications conformes et fonctions biholomorphes, théorème de l'application conforme de Riemann, fonction réciproque d'une fonction holomorphe, comportement d'une fonction holomorphe à un point de multiplicité k, théorème d'invariance des domaines (Offenheitssatz), principe du maximum pour les fonctions holomorphes, lemme de Schwarz, automorphismes holomorphes du disque unité D ; Riemannscher Hebbarkeitssatz = théorème de Riemann sur l'élimination de singularités, séries de Laurent, partie principale et partie holomorphe, développement de Laurent, exemples ; singularités isolées (hebbar = apparente = éliminable, pôle, essentielle), théorème de Casorati-Weierstrass, grand théorème de Picard (sans preuve), petit théorème de Picard ; théorème des résidus, calcul des résidus, application au calcul intégral, exemples, fonctions méromorphes, principe de l'argument (nombre de zéros et pôles), théorème de Rouché, théorème fondamental de l'algèbre (deuxième preuve)
Königsberger II, Kapitel 6

4. Intégrale de Lebesgue dans Rn

Fonctions en escaliers, séries enveloppantes, semi-norme L1, définition de l'intégrabilité et de l'intégrale de Lebesgue, propriétés de l'intégrale, intégration sur des sous-ensembles de Rn, intégrabilité de fonctions continues, mesure de Lebesgue, ensemble de Cantor, Nullmengen = ensembles de mesure nulle, caractérisation des ensembles de mesure nulle au moyen de revêtements denombrables par des cubes, exemples, Modifikationssatz, sommes de Riemann ; convergence dans le sens L1, théorème de complétude de Riesz-Fischer, une suite qui converge dans L1 contient une sous-suite convergente presque partout, L1(Rn) comme espace de Banach, théorème de la convergence monotone (Beppo Levi), théorème de la convergence dominée (Lebesgue); théorème de Fubini, théorème de Tonelli, justification du théorème de Fubini à l'aide des sommes de Riemann, théorème de changement de variables dans les intégrales, exemples: coordonnées polaires, coordonnées sphériques, volume d'une boule dans R3, intégration de fonctions symétriques par rotation, volume de la boule unité dans Rn
Königsberger II, Kapitel 7,8,9