Inhalt Analysis III

Version Ghanaat 2016

1. Vektorfelder und Differentialgleichungen

Vektorfelder, Gradientenfelder, zeitabhängige Vektorfelder, Integralkurven, Existenz- und Eindeutigkeitssatz von Picard-Lindelöf, Beweis mittels Banachschem Fixpunktsatz, Beispiel für nicht eindeutige Lösungen von Anfangswertproblemen, Separation der Variablen, globale Existenz von Lösungen bei linear beschränktem F, Lemma von Gronwall, Fortsetzungslemma, Reduktion zeitabhängiger Systeme auf zeitunabhängige, Reduktion von Gleichungen höherer Ordnung auf Systeme erster Ordnung, Beispiel harmonischer Oszillator; lineare Systeme von Differentialgleichungen erster Ordnung, homogenes und inhomogenes System, Fundamentalsystem, Fundamentalmatrix, Methode der Variation der Konstanten, lineare System mit konstanten Koeffizienten, Fundamentalsystem für diagonalisierbares A, Matrix-Exponentialfunktion, Fundamentalsystem für beliebiges A, inhomogene Systeme und Variation der Konstanten, Beispiele; lineare Differentialgleichungen höherer Ordnung, charakteristisches Polynom und Fundamentalsystem im Fall konstanter Koeffizienten
Königsberger II, Kapitel 4 und I, Kapitel 10

2. Pfaffsche Formen und Kurvenintegrale

Pfaffsche Formen (1-Formen), Differentiale, Pfaffsche Formen und Vektorfelder, Kurvenintegrale, Beispiel Windungsform, Kurvenintegral als Limes von Riemannsummen, exakte und geschlossene ( = lokal exakte) Formen, Stammfunktion einer 1-Form, Wegabhängigkeit des Kurvenintegrals, Integrabilitätsbedingungen, Lemma von Poincaré, Homotopie von Kurven, Homotopieinvarianz des Kurvenintegrals geschlossener 1-Formen, freie Homotopie, einfach zusammenhängende Teilmengen des Rn
Königsberger II, Kapitel 5

3. Holomorphe Funktionen

Definition und äquivalente Bedingungen, Differentialgleichungen von Cauchy-Riemann, Grenzwerte konvergenter Potenzreihen sind holomorph, komplexes Kurvenintegral, Windungszahl, Integralsatz von Cauchy, komplexer Logarithmus, Integralformel von Cauchy, Potenzreihenentwicklung holomorpher Funktionen, Formel für die Taylorkoeffizienten, ganze Funktionen und Satz von Liouville, Fundamentalsatz der Algebra (erster Beweis), Integralformel von Cauchy für Ableitungen, Satz von Morera, Satz von Weierstrass (über die Holomorphie des Limes), Isoliertheit der Nullstellen, Identitätssatz; konforme Abbildungen und holomorphe Funktionen, biholomorphe Abbildungen, Riemannscher Abbildungssatz, Umkehrfunktionen holomorpher Funktionen, Verhalten an k-fachen Stellen, Offenheitssatz = Satz von der Gebietstreue, Maximumprinzip für holomorphe Funktionen, Lemma von Schwarz, holomorphe Automorphismen des Einheitskreises D; Riemannscher Hebbarkeitssatz, Laurentreihen, Hauptteil und Nebenteil, Laurententwicklung, Beispiele; isolierte Singularitäten (hebbar, Pol, wesentlich), Satz von Casorati-Weierstrass, grosser Satz von Picard (ohne Beweis), kleiner Satz von Picard; Residuensatz, Berechnung von Residuen, Anwendung auf die Berechnung von Integralen mit Beispielen, meromorphe Funktionen, Prinzip vom Argument = Satz vom Null- und Polstellen zählenden Integral, Satz von Rouché, Fundamentalsatz der Algebra (zweiter Beweis)
Königsberger II, Kapitel 6

4. Lebesgue-Integration im Rn

Treppenfunktionen, Hüllreihen, L1-Halbnorm, Definition der Integrierbarkeit und des Lebesgue-Integrals über Rn, Eigenschaften des Integrals, Integration über Teilmengen, Integrierbarkeit stetiger Funktionen, Lebesgue-Mass, Cantor-Menge, Lebesgue-Nullmengen, Charakterisierung von Nullmengen mittels abzählbarer Überdeckungen durch Würfel, Beispiele für Nullmengen, Modifikationssatz, Riemannsche Summen; L1-Konvergenz, Vollständigkeitssatz von Riesz-Fischer, L1-konvergente Folgen enthalten Teilfolgen, die fast überall konvergieren, der Banachraum L1(Rn), Satz von der monotonen Konvergenz (Beppo Levi), Satz von der majorisierten Konvergenz (Lebesgue), Satz von Fubini, Satz von Tonelli, anschauliche Begründung des Satzes von Fubini mit Riemannschen Summen, Transformationssatz für Integrale, Beispiel Polarkoordinaten, sphärische Koordinaten, Volumen der Kugel, Integration rotationssymmetrischer Funktionen, Volumen des Einheitsballes im Rn
Königsberger II, Kapitel 7,8,9